誕生日が一致する確率

昨日は4年に一度の2月28日。
誕生日の人ってどうしてるんだろうっていつも思うけど、身近にいないのでわかりません。
（↑と書いていたのですが、すみません。誤りです。訂正します。
2月29日がうるう日で4年に一度です。2014年はうるう年ではありません）
それで誕生日の小ネタを思い出したのだけれど、
数学の有名な話で、
40人いれば1組くらい同じ誕生日の2人がいてもおかしくない、
というのがある。
おかしくないっていうのは数学的な表現じゃないかもしれないけど。
普通に考えたらこう思ってしまう。
365日なのだから365人いてようやく1人くらいいるかもね？？？
でも今回の計算の仕方は違う。
集団の中に少なくとも2人誕生日の同じ人がいる、と考えて計算する。
こういう問題の場合は、いる確率ではなく、いない確率を考える。
だから、集団内の誰かと誰かの誕生日が一致しない確率を計算していけばいいわけ。
中学で習ったか高校で習ったかは忘れてしまった確率の計算。
高校範囲かな？（センターしか勉強していないのでよくわかりません）
手始めに、集団が2人だけの場合を考えてみる。
1年が365日として、ある1人の誕生日以外の日は364通りあるから
一致しない確率は　364/365　になる。
逆に一致する確率は　1-364/365=1/365　となる。
じゃあ、3人いるとしたら？
3人とも誕生日が違う確率を考える。
2人の誕生日が違う確率は　364/365。
3人目が他の2人とも誕生日は一致しないから　363/365。
確率なので掛けて　(364/365)×(363/365)=0.992（くらい）。
99％以上。
当然のように感じる。
同じように考えて、4人なら　(364/365)×(363/365)×(362/365)。
私の手計算によると98％以上。
ところが、こうして計算していくと、
かけていく数の分子がどんどん小さくなっていくのがわかる。
ここから計算機登場。
10人いると88％以上。
20人いると59％。
30人いると29％以上。
計算過程を示せないのが残念だけれど、そうして集団が41人になったところで
一致しない場合を考えた計算結果は0.1をきる。
一致しない確率10％以下。
つまり逆に考えて一致する確率は（1から引けば）0.9、
90％以上の確率で41人の集団の中に誕生日の一致する2人がいることになる。
ちょっと説明下手だったかな(>_<) でも、へ？って感じでしょ。 これは本当に不思議な問題で、誕生日パラドックスとか言われている。
でもネタばらしをしてしまうと、
この話は、集団の中に同じ誕生日の人がいる、とは言っても、
自分と誰かの誕生日が一致する確率を計算しているわけではない。
誰かと誰かの誕生日が一致する確率を計算している。
私たちが直感的に思ってしまうのは、自分と同じ誕生日の人はなかなかいないだろう、
ってことで、今やってみた計算とは違う内容なのだ。
そうやって考えるなら計算は単純で、
自分の誕生日以外の日は364通りで、
集団の中にいる他の人間の誕生日がそれぞれ一致しようがしまいが関係ないとする。
自分の誕生日が誰とも一致しない場合を考えるのだ。
自分と相手の誕生日が一致する確率は　1-(364/365)=0.00274。
1人増えても、ほかの2人の誕生日が自分と違えばいいのだから、
「自分と」一致する確率は　1-(364/365)(364/365)=0.00547　となる。
人数を増やすときはさっきと同じような要領で、
364/365を集団から自分を引いた人数分だけかければいい。
さっきと違うのは分子が減らないこと。
364/365 は 1 に近いので、人数が増えてもなかなか数が変化しない。
41人いるとしても、自分と同じ誕生日の人がいる確率はせいぜい10.39％。
これで普通の感覚に一致したと思う。
珍しく熱弁したら漢字やら数字やらで煩雑になってしまいました。
数学のマジックっておもしろい。